Цитата
Один сайт обновлен до версии 2.5.18. Другой – только до 2.5.7, Больше обновить невозможно, т.к. почему-то сообщается: версия Joomla самая новая.

Оба сайта обновите до последней версии из этой линейки 2.5.28

Цитата
что удаление кеша также не решает проблему обновления версий.

В админке - Снять блокировки, Очистить кеш, затем, На иконку уведомления о новых версиях расширений, так кеш чистите.
Если почему то не получается, как сказал span4bob, скачайте с офсайта пакет joomlacode.org/gf/project/joomla/frs/?action=FrsReleaseBrowse&frs_pa­ckage_id=6972

Цитата
allvake пишет: В админке - Снять блокировки, Очистить кеш, затем, На иконку уведомления о новых версиях расширений, так кеш чистите. Если почему то не получается, как сказал span4bob, скачайте с офсайта пакет joomlacode.org/gf/project/joomla/frs/?action=FrsReleaseBrowse&frs_pa ­ckage_id=6972

Спасибо всем за советы. Снимал блокировки, чистил кеш, не решает проблему.
Скачать с указанного офсайта пакет не удается. Там качать можно только зарегистрированным пользователям. А на данное время - проблемы с регистрацией (не приходит письмо с ссылкой для активации аккаунта, сделал несколько попыток с действующих адресов, естественно, проверял корзину со спамом - писем точно нет).
Искал через поисковик "скачать joomla 2.5.х-2.5.18" - не нашел, везде тоже ссылаются на офсайт.

Цитата
span4bob пишет: по поводу аватаров посмотрите разрешения на папки на хостинге

А для каких именно папок необходимо поменять разрешения? И поможет ли смена разрешения папки, если в коде форума отсутствует фрагмент кода, связанный с выводом аватара? Я сравнивал коды на обоих форумах (ведь сайты практически одинаковы), видно что в одном отсутствует большой фрагмент, начинающийся:
<dt class="closed">Аватар</dt>
Может попытаться вставить этот фрагмент? 
Если да, то в какой именно файл?

Ссылку не правильно дал, так правильно ссылка

Удалось обновить до версии  2.5.28. Было предложено обновить и форум до версии 3.0.8. Обновил.
Обновление прошло успешно, так что, надо понимать, установленные версии движка сайта и форума совместимы.
Результаты: опция "Аватары" так в профиле и не появилась. А кнопки "Учётная запись, Профиль, Установки форума, Сообщения, Подписка, Избранное, 
Благодарности" стали неактивными.

Цитата
allvake пишет: Я бы обновил бы еще джумлу до 3.4 версии, и поставил последнею версию форума 4.0, а по мере возникновения проблем решать их.

Я тоже думал об этом. Наверно, так и сделаю. Найду в интернете подробности об особенностях перехода на 3 версию, и займусь.
Хотя, конечно, до установки форума никакой надобности в этом не видел, т.к. сайт довольно простенький.
Еще раз спасибо за советы!

Установил Joomla версию 3.4.1, kunena 4.0
В итоге вернулся к первоначальному состоянию - кнопка "аватары" отсутствует.
Что касается Community Builder - установить его так и не удалось.
Перепробовал несколько версий (брал здесь joomla.ru/downloads/extensions/combuilder, joomlabc.ru/joomla/communitybuilder/item/27-download-community-builder, joomla4ever.ru/extensions/56-community-builder.html)
При обычном способе загрузки расширений идет сообщение "Невозможно найти установочный пакет".
Путем "Установить из каталога" тоже не удавалось.
Через ftp размещал содержимое пакета в папке tmp (естественно, пустой), тоже идет сообщение "Ошибка
По данному пути корректный пакет не найден Невозможно найти установочный пакет".